Algebra er en del av matematikken der vi bruker bokstaver i stedet for tall for å vise hvordan ting henger sammen og for å finne ut hva de ukjente tallene er. Det er som et mysterium vi skal løse ved å følge noen enkle regler. For eksempel, hvis vi har regnestykket x + 3 = 7, betyr det at vi må finne ut hva «x» er. Her er «x» et mysterietall, og vi finner ut at x = 4 fordi 4 + 3 = 7.
Etter hvert som man blir bedre kjent med denne måten å regne på, begynner man imidlertid også å skjønne hvorfor det er så genialt.
Noen elsker algebra, mens andre virkelig ikke liker det. Vi håper å omvende alle de som hater det der ute!
I denne artikkelen presenterer vi derfor noen grunnleggende algebraregler, ligninger, eksempler og definisjoner. Slik håper vi å gjøre emnet overkommelig - og kanskje også spennende?
Vanlige spørsmål om algebra
Før vi går i gang med hoveddelen av stoffet, skal vi besvare noen av de tingene du kanskje lurer på om algebra.
Er ligninger algebra?
Kort svar: Ja, ligninger er algebra!
Nærmere bestemt er algebra en matematikkgren som består av ligninger, bokstavregning og regning med tall og variabler.
En grunn til at ligninger og algebra forbindes så tett, er at begrepet algebra ble brukt synonymt med ligningsteori helt frem til begynnelsen av 1800-tallet. Frem til dette betegnet de også samme praksis.
Fra dette punktet av utviklet man algebraen til å bli en mer omfattende overbygning som bare blant annet innbefatter ligninger.
Hvordan skjønne algebra?
Dette er et litt mer komplekst spørsmål. Det finnes ikke ett riktig svar, men avhenger av den individuelle personens utfordringer i møte med algebra. Med det sagt er det noen ting som går igjen.
Algebra er vanskelig å få grep om for mange matematikkelever. Mange synes spesielt det er vanskelig å skjønne hva som er vitsen med det hele. Det fremstår gjerne veldig abstrakt og teoretisk. For å lette forståelsen, kan det være nyttig å søke etter mattehjelp Stavanger eller andre ressurser som kan tilby veiledning tilpasset individuelle behov.
Ofte er den beste løsningen å sette ligningen inn i en praktisk kontekst. Med klok bruk av eksempler og eksperimenter fra lærerens side kan algebraen gjøres mer forståelig for elevene som møter den for første gang.
En annen utfordring mange elever har i møtet med algebra, er å forstå hva bokstavene egentlig representerer. Det er langt fra åpenbart for alle at variablene, altså x, y og så videre, skal behandles som tall. Dersom man ikke får grep om dette tidlig i prosessen, er det ikke rart at mattetimene blir frustrerende.
For å forstå algebra, og også mange andre matematiske konsepter, er det gjerne lurt å forenkle oppgaven man står fremfor så langt det går. Greit nok at man ikke da kommer frem til svaret man ble bedt om å finne i første sving, men man gir seg selv en bedre sjanse til å forstå prinsippene bak regnestykket man har fremfor seg.
Det kan for eksempel bety å erstatte tallene med lave, hele tall som er lett delelige på hverandre. På denne måten kan du lettere se forholdet mellom ligningens forskjellige elementer, og det er lettere å prøve seg frem på forskjellige måter til du kommer frem til et svar som virker korrekt.
Kort sagt: For å forstå algebra bør man sette seg inn i hva variablene står for og hvilke regneregler som gjelder for dem (hint: Det er samme regler som for tall). Når man først begynner å regne, bør det være med helt enkle oppgaver, og de bør gjerne være knyttet til en situasjon fra virkeligheten.
Algebra: regler og grunnleggende prinsipper
Algebra handler om å forstå hvordan tall og symboler henger sammen, og hvordan vi kan bruke regler til å løse matematiske problemer. Akkurat som samfunn trenger lover og regler for å fungere, trenger også matematiske konsepter det. Her er noen av de viktigste algebraiske reglene for aritmetikk, potenser og røtter. Man kommer langt med å kjenne til algebraens sentrale prinsipper.
Grunnleggende algebra er i konstant bruk. Når man beregner drivstoffbruk, når man finner ut hvor mange runder en servitør tar i løpet av et skift.
Faktorisering som algebraisk regneregel
Faktorisering er å dele opp et tall i mindre tall, kalt faktorer, som ganget sammen gir det opprinnelige tallet. For eksempel er 20 faktorisert til 2 x 10, og videre til 2 x 2 x 5, siden 10 kan deles videre opp i 2 x 5.
Utregningseksempel med faktorisering:
La oss faktorisere 20. Først finner vi tall som går opp i 20.
20 = 2 x 10
10 kan også deles opp:
10 = 2 x 5
Da får vi:
20 = 2 x 2 x 5
Faktorisering er spesielt nyttig i algebra for å dele opp algebraiske uttrykk, slik som: xy + xz = x(y+z)
Hvis du trenger leksehjelp matte Oslo, kan du også utforske denne prosessen med veiledning fra erfarne lærere.
Det er imidlertid nyttig å vite at rekkefølgen på faktorene ikke har noe å si. Dem kan du plassere akkurat som du vil.
Det er heller ikke slik at du må begynne et bestemt sted når du faktoriserer et tall. Du vil uansett komme til de samme primtallene til slutt, om du tar faktoriseringen så langt den kommer. Det er godt mulig at du tenkte på et helt annet regnestykke da vi sa at vi skulle begynne med å se hva 20 kan deles på. 20 er jo også delelig på 4 og 5.
Da får vi i stedet 20 = 4 x 5. 5 er et primtall, men det gjelder ikke 4. For 4 kan jo deles på 2.
4 = 2 x 2. Og hva sitter vi igjen med da? Jo, vi får 20 = 2 x 2 x 5.
I algebra er faktorisering spesielt nyttig for å dele opp algebraiske uttrykk. Faktorisering er altså en omskriving av et uttrykk som kan gjøre det lettere å arbeide videre med det. Det er nyttig når du sitter med et stykke foran deg som ser rotete ut. Ta dette eksempelet:
- xy + xz
Når to bokstaver står inntil hverandre på denne måten, betyr det at de skal ganges sammen. Tenk deg gjerne at det står et usynlig gangetegn mellom dem. For å gjøre dette tydelig, kan vi skrive stykket slik: xy + xz = x * y + x * z. Siden man ganger før man legger sammen, må vi foreløpig behandle de to gangestykkene som enheter. For å få nytte av faktoriseringsprosessen må vi finne et fellestrekk mellom de to gangestykkene - en felles faktor. Og her er det ikke så mye å velge blant - det må jo være x.
Det vi kan gjøre da, er å flytte x utenfor parentesen, og sette de to gjenstående faktorene innenfor parentesen. Og vips, så har man gjort en faktorisering.
- xy + xz = x (y + z)
I en abstrakt sammenheng som dette kan det først være vanskelig å se hvorfor "omformuleringen" av regnestykket gjør det noe lettere å jobbe med. Du vil imidlertid raskt oppdage at kunnskapen om faktorisering er gull verdt når du skal regne ut mer kompliserte stykker.
For å kontrollere at vi har tenkt rett når vi har faktorisert, kan vi se til reglene for parentesregning. De forteller oss nemlig at for å løse opp en parentes ganger man først tallet utenfor parentesen med det første tallet i den, og deretter med det andre, mens fortegnet inni parentesen blir stående mellom de to produktene.
Brøk med algebra; addisjon, subtraksjon, divisjon og multiplikasjon av brøker
Skal man multiplisere et helt tall med en brøk, ganger man bare det hele tallet med telleren. Om man skal multiplisere to brøker med hverandre, ganger man teller med teller og nevner med nevner.
Om man skal dele en brøk på en annen, snur man først den siste brøken på hodet. Deretter multipliserer man dem med hverandre. For eksempel:
- 2/4 : 1/3 = 2/4 * 3/1 = (2 * 3)/(4 * 1) = 6/4 = 3/2
Ved addisjon og subtraksjon av brøker må nevnerne være like. Deretter samler man tellerne på én linje over den felles nevneren og regner som vanlig. Her er et eksempel:
- a/c + b/c = (a + b)/c
Dette er noen av de mest grunnleggende reglene for regning med brøker.
Kort forklaring av regler for multiplikasjon og divisjon av brøker
- Når du ganger et helt tall med en brøk, ganger du tallet med telleren.
- Når du ganger to brøker, ganger du teller med teller og nevner med nevner.
- Når du deler en brøk på en annen, snur du den siste brøken på hodet og ganger.
Kort forklaring av regler for addisjon og subraksjon av brøker
- Nevnerne må være like.
- Deretter legger du sammen eller trekker fra tellerne.
En nærmere titt på algebraregler for potenser
En potens består av et grunntall og en eksponent. Eksponenten viser hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. Et av de viktigste hjelpemidlene på veien mot å mestre algebra, er reglene som strukturerer og veileder arbeidet ditt. Her tar vi for oss noen av reglene som har å gjøre med potenser.
Om du leser denne artikkelen og har glemt hva en potens er, er vi her for å friske opp hukommelsen din. En potens består av et grunntall og en eksponent. Som dette:
- 42
Grunntallet er i dette eksempelet 4, og eksponenten er 2. Eksponenten viser hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv.
Viktige regler du må kjenne til ved utregning av potenser i algebra.
- Null som eksponent: Grunntall opphøyd i 0 er lik 1.
- Potens i en potens: Har man å gjøre med en potens med eksponent som grunntall, multipliserer man de to eksponentene med hverandre. Grunntallet lar man stå. Som her:
- (x2)3 = x2*3 = x6
- Produktregelen: Produktet av to eksponenter med samme grunntall er lik grunntallet opphøyd i summen av de to eksponentene. Denne regelen blir ekstra tydelig og lettforståelig når man skriver ut potensene som multiplikasjoner.
Algebraregning med røtter
Røtter er motsatsen til potenser. En vanlig regel er at roten av et tall er det samme som tallet opphøyd i 1 over n. I algebraens rikholdige verden er rotuttrykk essensielle. De kan betraktes som motsatsen til potenser.
En vanlig regel for røtter i algebra er den følgende:
- a^(1/n) = n√a
I dette uttrykket er roten av et tall den samme som tallet opphøyd i 1 over n. Uttrykket passer sammen med potensregelen om at am * an = am + n.
Det finnes en mengde definisjoner, faguttrykk og regler om røtter. Det vi har vist her, er bare en liten smakebit som hjelper oss med å forstå hvor logisk og velstrukturert matematikk, og deriblant algebra, er.
Se mattekurs online for mer hjelp og veiledning.
Enkle ligninger med algebra
Før vi trekker frem noen enkle ligninger med algebra som man ofte treffer på i tekstbøker og på prøver, er det nødvendig å definere begrepet ligning. En ligning består av to uttrykk av lik verdi som står på hver side av et likhetstegn.
En ulikhet ligner på mange måter en ligning: Den består også av to uttrykk som forbindes av tegn som formidler noe om forholdet mellom de to uttrykkene. Forskjellen er at uttrykkene i en ulikhet, som navnet antyder, ikke er like.
Mens uttrykkene i en ligning forbindes av et likhetstegn, kan en ulikhet forbindes av fire forskjellige tegn: tegnet for større enn (>), mindre enn (<), større enn eller lik (≥) og mindre enn eller lik (≤).
Når man snakker om ligninger, ser mange for seg ligninger med bokstavregning. I sin essens er imidlertid en ligning en måte å uttrykke at vi har å gjøre med to like størrelser på.
Bokstavene i en ligning kalles variabler, og tall, konstanter og funksjoner kalles koeffisienter.
Hvordan løser man algebraiske ligninger?
Man løser algebraproblemer i form av en ligning ved å finne ut hvilke tall bokstavene representerer.
Det følgende er et enkelt eksempel på hvordan man løser en ligning med en ukjent x.
2 + 8 = x - 4
Et tall kan flyttes til motsatt side av likhetstegnet, men fortegnet må da endres. På den måten opprettholder man balansen mellom de to sidene av ligningen, som alltid skal ha lik verdi.
2 + 8 + 4 = x
Når man samler alle tallene på én side og lar den ukjente stå alene på den andre siden, får man en ligning som er oversiktlig og lett å lese. Tallene kan nå legges sammen:
14 = x
Så greit kan det altså være. Ofte må man flytte om på uttrykkene og isolere x for å løse ligningen. Det finnes fastsatte regler for hvordan det er lov til å flytte om på elementene i ligningen.
Kjenner man til disse reglene, er man bedre rustet til å klare å løse algebraiske problemer. Selv om det kan se avskrekkende ut ved første møte, er det langt mellom et så nyttig redskap som algebra. Formlene må læres, prosessene må forstås, og på den andre siden står man igjen med utrolig nyttig og allsidig kunnskap. Hvis ikke, så er det privatlærere på Superprof som holder r2 kurs for å gjennom regler og utregninger.
Lær deg mer om algebra på egenhånd
Algebra er en akademisk disiplin som har gitt mange hodeverk. Heldigvis finnes det mange ressurser på nett for dem som er villig til å legge litt innsats i læringen. Her finner man gode trinnvis forklaringer, eksempler, videoleksjoner, spill, kvisser og podkaster om alle de forskjellige aspektene ved algebra.
For ekstra læringsmateriell anbefaler vi spesielt matematikk.net. Her finner man både gode forklaringer og øvingsoppgaver sortert etter skoletrinn og vanskelighetsgrad.
Et skritt man kan ta dersom egenstyrt læring er for vanskelig eller ikke gir de resultatene man ønsker, er å skaffe seg en privatlærer for mattehjelp. En privatlærer ser dine styrker og utfordringer og kan legge opp undervisningen med utgangspunkt i dette.
Noen definisjoner
Kanskje var noen av uttrykkene i denne artikkelen vanskelige å forstå. Om du syntes det, er du ikke alene. Alle er ikke matematikere, og for å være ærlig måtte vi friske opp skolekunnskapene litt før vi skrev denne artikkelen.
Derfor har vi laget denne listen over begreper som det er godt å kunne:
- Aritmetikk: Begrepet brukes ikke veldig ofte i norsk skole, og det kan derfor fremstå fremmed. Det kommer fra gresk arithmos, som betyr tall. Aritmetikk er imidlertid ikke så skremmende som det høres ut. Aritmetikken rommer mange av de mest grunnleggende prinsippene i matematikkfaget, som reglene for addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon.
- Teller: Telleren er tallet som står øverst i en brøk. Det viser hvor mange deler av nevneren som er "fylt opp".
- Nevner: Nevneren er tallet som står nederst i en brøk. Det representerer en hypotetisk helhet. Man kan se brøken for seg som en kake der nevneren er hele kaken, delt opp i stykker, og telleren er antallet kakestykker man har.
Andre begreper knyttet til algebra kan finnes i andre Superprof-artikler.
Man kan skaffe seg grunnleggende kunnskap om algebra før man begynner med det på skolen, gjøre det ved siden av undervisningen eller som en oppfriskning som voksen. Kanskje man skal hjelpe et barn med leksene, eller kanskje man bare har innsett hvor praktisk slik kunnskap kan være i hverdagen.
Det er aldri for sent, og sjelden for tidlig, å lære seg om algebra. Hvorfor ikke begynne nå?
Likte du denne artikkelen? Vurder den!
Loading...
Algebra med røtter. 6linje er feil.
Hei! Takk for at du informerer om dette, vi tar med oss tilbakemeldingen.